ගැටලුව: මේස සීමාව
$500 මේසයක $10 Martingale එකක්. එය කොපමණ වාරයක් බිඳ වැටේද, එසේ වූ විට කොපමණ අහිමි වේද, සහ සීමාව ඉහළ දැමීම උදව් වේද?
අනුපිළිවෙළින් පරාජ හයක් එය බිඳ දමයි: චක්‍රයකට 1.8%, කරකැවීම් 100 ක ක්‍රීඩා සැසිවලින් 60% ක් පමණ. බිඳ වැටීමේ පිරිවැය $630 කි. සීමාව $5,000 දක්වා ඉහළ දැමීම බිඳ වැටීම වඩා දුර්ලභ (චක්‍රයකට 0.25%) සහ වඩා විශාල ($5,110) කරයි. ඔට්ටු තැබූ ඩොලරයකට අපේක්ෂිත අලාභය ඕනෑම සීමාවකදී 2.70% කි.
ගැටලුව
ක්‍රීඩකයෙකු රතුඔට්ටුවරතුරතු අංක 18 මත සම මුදල් ඔට්ටුව. ප්‍රංශ: rouge.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → මත $10 ක් ඔට්ටු තබා සෑම පරාජයකටම පසු දෙගුණ කරයි, ජයකට පසු නැවත මුලට යයි. මේසයේ උපරිමය $500 කි. (a) ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමයඋපාය මාර්ගයඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමයපෙර ප්‍රතිඵල මත පදනම්ව ඔට්ටු මුදල වෙනස් කරන ඕනෑම නීතියක්. සෘණ ක්‍රම පරාජයෙන් පසු එය ඉහළ නංවයි, ධන ක්‍රම ජයෙන් පසු.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → බිඳ දමන්නේ අඛණ්ඩ පරාජ කීයක්ද? (b) චක්‍රයකට සම්භාවිතාවගණිතයසම්භාවිතාවප්‍රතිඵලයක අවස්ථාව, 0 සිට 1 දක්වා හෝ 0% සිට 100% දක්වා. එක් අංකයක්: 1/37 = 2.70%.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → කුමක්ද? (c) බිඳ වැටීමේදී අහිමි වන්නේ කීයද? (d) $5,000 සීමාවක් පිළිතුරු වෙනස් කරන්නේ කෙසේද? (e) කිසියම් සීමාවක් ක්‍රමය ලාභදායී කරයිද?
විසඳුම් (a)–(c)
ඔට්ටු මුදල්: 10, 20, 40, 80, 160, 320. හත්වැන්න 640 > 500 වන බැවින්, පරාජ හයක් එය බිඳ දමයි. (b) රතු මත p(පරාජය) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, චක්‍රයකට 1.8% ක් පමණ. චක්‍රයක් සාමාන්‍යයෙන් කරකැවීම් දෙකක් පමණ පවතින බැවින්, කරකැවීම් 100 ක ක්‍රීඩා සැසියකට ආසන්න වශයෙන් චක්‍ර 50 ක් ඇති අතර p(අවම වශයෙන් එක් බිඳීමක්) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, එය මූලික ඒකකමුදල්ඒකකයක්‍රමයක් හෝ ක්‍රීඩකයෙකු ක්‍රියා කරන මූලික ඔට්ටු මුදල. ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රම ඕනෑම මේසයකට අදාළ වන පරිදි ඒකකවලින් විස්තර කෙරේ.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → 63 කි, චක්‍රය ජය ගැනීමට උත්සාහ කළ $10 ට එරෙහිව.
විසඳුම (d)
$5,000 දී: 2,560 දක්වා ඔට්ටු මුදල් අවසර ඇත; දහවන ඔට්ටු මුදල වන 5,120 ප්‍රතික්ෂේප වේ. පරාජ නවයක් එය බිඳ දමයි: (19/37)⁹ ≈ චක්‍රයකට 0.25%, කරකැවීම් 100 ක ක්‍රීඩා සැසිවලින් 11% ක් පමණ. බිඳ වැටීමේදී අලාභය: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. ක්‍රීඩකයා වඩා විශාල ව්‍යසනයක මිලට වඩා දුර්ලභ ව්‍යසනයක් මිලදී ගෙන ඇත. ක්‍රීඩා සැසි රාශියක් පුරා බිඳීම්වල අපේක්ෂිත පිරිවැය p × අලාභය වන අතර, $500 සීමාවේදී චක්‍රයකට ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 ක් ද $5,000 දී 0.0025 × 5,110 = $12.8 ක් ද වේ; වටයෙන් ගත් විට එය එකම අංකය වන අතර, එය චක්‍රයේ අපේක්ෂිත අලාභයගණිතයඅපේක්ෂිත අලාභයඅපේක්ෂිත අගය ඔට්ටු තැබූ මුළු මුදලෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන අගය; සැසියක් හෝ කාල පරිච්ඡේදයක් පුරා අහිමි වන සාමාන්‍ය මුදල.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → සහ ජයග්‍රාහී චක්‍ර උපයන $10 හි එකතුවයි.
විසඳුම (e)
නැත. සෑම ඔට්ටුවක්ම තමාගෙන් −1/37 වන බැවින්, ඕනෑම සීමාවකදී චක්‍රයකට අපේක්ෂිත අලාභය = (චක්‍රයේ අපේක්ෂිත මුළු ඔට්ටු මුදල) / 37. සීමාව තීරණය කරන්නේ අලාභය බොහෝ කුඩා ජය සහ ස්වල්පයක් විශාල අලාභ අතර බෙදී යන ආකාරය පමණි. සීමාවක් නොමැතිව සහ අනන්ත ක්‍රීඩා ප්‍රාග්ධනයක්මුදල්ක්‍රීඩා ප්‍රාග්ධනයක්‍රීඩාව සඳහා වෙන් කළ මුළු මුදල. ප්‍රාග්ධන කළමනාකරණය යනු එයින් ඔට්ටුවකට සහ සැසියකට කොපමණ අවදානමට ලක් කරන්නේද යන්න තීරණය කිරීමයි.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → සමඟ ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමය කිසි විටෙක බිඳ නොවැටෙන අර්ථයෙන් “ක්‍රියා කරනු” ඇති අතර, එය අසීමිත මුදලක් ද ඔට්ටු තබනු ඇත, එම අසීමිත මුදලින් 2.70% ක අපේක්ෂිත අලාභයක් සමඟ. Martingaleඋපාය මාර්ගයMartingaleසෑම පරාජයකින්ම පසු ඔට්ටුව දෙගුණ කරන ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමය. එය කරන දේ සහ නොකරන දේ සඳහා උපාය මාර්ග කොටස බලන්න.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → ක්‍රමය ක්‍රියා කිරීම නවත්වන්නේ මේස සීමාවමේසයමේස සීමාවඅවසර ඇති අවම සහ උපරිම ඔට්ටුව. දෙගුණ කරන ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රම නවත්වන්නේ උපරිමයයි.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → නොවේ. ගණිතයයි.
සැබෑ මේස දෙකක්
Thorp ගේ උදාහරණය $1,000 උපරිමයක් සහිත $1 මේසයකි, එහිදී ක්‍රීඩකයෙකු වරකට ඩොලරය බැගින් රාත්‍රී ආහාරය සඳහා $30 ක් ජය ගැනීමට බලාපොරොත්තු වේ. 1, 2, 4 … 512 ඔට්ටු මුදල් ඔට්ටු දහයකට ඉඩ දෙන බැවින්, අනුපිළිවෙළින් පරාජ දහයක් ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමය බිඳ දමයි: යුරෝපීය රෝදයක චක්‍ර 785 කට වරක් (ඇමරිකානු රෝදයක 613 කට වරක්), $1,023 ක පිරිවැයකින්. චක්‍ර තිහම 96.2% ක වාරවලදී සාර්ථක වේ. ඉතිරි 3.8% $1,000 ක් පමණ අහිමි කරන අතර, සවසේ සාමාන්‍ය ප්‍රතිඵලය −$9.17 වේ, එය හරියටම චක්‍ර තිහ සාමාන්‍යයෙන් ඔට්ටු තබන $339 න් 1/37 කි. $2,000 උපරිමයක් සහිත $5 මේසයක් වෙනස් නොවේ: $1,280 දක්වා ඔට්ටු මුදල් ඔට්ටු නවයකට ඉඩ දෙන අතර, බිඳ වැටීම යුරෝපීය රෝදයක චක්‍ර 403 කට වරක් (ඇමරිකානු රෝදයක 323 කට වරක්) පැමිණෙන අතර $2,555 ක් වැය වේ.
ධනවත් ක්‍රීඩකයෙක්
අඩු සීමාවක් වෙනුවට ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමයට ගැඹුරු ක්‍රීඩා ප්‍රාග්ධනයක් දෙන්න: ඒකක 1,000 ක්, ඒකක එකක මූලිකයක් සහ රතු මත කරකැවීම් 1,000 ක්, ඊළඟ දෙගුණ කිරීම ඉතිරිව ඇති මුදලට වඩා වැඩි වූ සෑම විටම නැවත ඒකක එකකින් ආරම්භ කරමින්. අපි එවැනි සවස් මිලියනයක් සිමියුලේට් කළෙමු. යුරෝපීය රෝදයක 52% ලාභයෙන් අවසන් වේ, 21% සියල්ල අහිමි කරයි, සහ සාමාන්‍ය ප්‍රතිඵලය ඒකක −124 කි. සෑම ඔට්ටුවක්ම සාධාරණ වන, ශුන්‍යයක්රෝදයශුන්‍යයකිසිදු සම මුදල්, දුසිම් හෝ තීරු ඔට්ටුවක් ආවරණය නොකරන තනි කොළ කුටීරය; කැසිනෝ වාසියේ මූලාශ්‍රය. මෙසේද හැඳින්වේ: single zero, 0.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → නොමැති ක්‍රීඩාවක පවා, ලාභයෙන් අවසන් වන්නේ 60% ක් පමණි. සුපුරුදු සවස කුඩා ජයකි; සාමාන්‍යය ගෙවනු ලබන්නේ ශුන්‍යයෙන් අවසන් වන සවස් මගිනි.
පාඩම
කැසිනෝ සීමා පනවන්නේ ක්‍රම පරාජය කිරීමට නොව, තමන්ගේම විචලතාවගණිතයවිචලතාවඅපේක්ෂිත අගය වටා ප්‍රතිඵල කොපමණ පුළුල්ව පැතිරී ඇත්දැයි මනින මිනුමක්. තනි අංක ඔට්ටුවට ඉහළයි, සම මුදල් ඔට්ටුවලට අඩුයි.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → සීමා කිරීමට ය. Martingale පරාජය කිරීම ඔවුන් සතුටින් පිළිගන්නා අතුරු ඵලයක් වන අතර, කෙසේ වුවත් ගණිතය එය පරාජය කරනු ඇත. සීමාව ගැටලුව යැයි සිතන ක්‍රීඩකයා ප්‍රපාතය සොයාගෙන එය බෑවුම ලෙස වරදවා වටහාගෙන ඇත.
සූත්‍රය
ප්‍රශ්න
එය ඔබට ඉහළ සීමාවක් දක්වා නොනැසී සිටීමට ඉඩ දෙන අතර, එහිදී බිඳ වැටීම වඩා දුර්ලභ සහ වඩා විශාල ය. ඩොලරයකට අපේක්ෂිත අලාභය නොවෙනස්ව පවතී.
ඔට්ටු මුදල් 10, 30, 70, 150, 310: පරාජ පහකට පසු $500 සීමාවට ළඟා වන අතර, බිඳ වැටීමේ පිරිවැය $570 කි. එම 2.70% ම.
එක් ක්රීඩකයෙකුට කැසිනෝවේ සංචිතයට පහසුවෙන් ගෙවිය හැකි ප්රමාණයට වඩා ඔට්ටු තැබිය නොහැකි වන පරිදි. විචලතා කළමනාකරණය.
ගණිතය සමඟ විනෝදය
මුලින්ම මේවා ඔබම උත්සාහ කරන්න. සෑම විසඳුමක්ම නවා තබා ඇත; ඔබ සූදානම් වූ විට එය විවෘත කරන්න.
Martingaleඋපාය මාර්ගයMartingaleසෑම පරාජයකින්ම පසු ඔට්ටුව දෙගුණ කරන ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමය. එය කරන දේ සහ නොකරන දේ සඳහා උපාය මාර්ග කොටස බලන්න.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → ක්‍රමයක් රතුඔට්ටුවරතුරතු අංක 18 මත සම මුදල් ඔට්ටුව. ප්‍රංශ: rouge.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → මත $100 කින් ආරම්භ වන අතර චක්‍රයකට උපරිම ඔට්ටු n කට ඉඩ දෙයි: පිට පිට පරාජය n කට පසු එය අත්හැර නැවත ආරම්භ කරයි. එක් චක්‍රයක සාමාන්‍ය ප්‍රතිඵලය n ඇසුරෙන් සූත්‍රයක් ලෙස ලියා, යුරෝපීය රෝදයක ඔට්ටු 5, 6 සහ 7 සඳහා එය ගණනය කරන්න.
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර සාමාන්‍යය 100 × (1 − (38/37)ⁿ) වේ: ඔට්ටු 5 සඳහා −$14.26, 6 සඳහා −$17.35 සහ 7 සඳහා −$20.52. වැඩි ඔට්ටු ගණනකට ඉඩ දීම සාමාන්‍ය චක්‍රය වඩා හොඳ නොව, වඩා නරක කරයි.
ඔට්ටු n ම පරාජය නොවන්නේ නම් චක්‍රයක් $100 ජය ගනී, එය සිදු වන්නේ qⁿ අවස්ථාවකිනි, මෙහි q = 19/37. ඒවා සියල්ල පරාජය වූ විට, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ඔට්ටු මුදල් එකතු වී 100 × (2ⁿ − 1) වේ. එබැවින් සාමාන්‍යය 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) වේ.
මෙහි 2q = 38/37, 1 ට මඳක් වැඩි, එබැවින් (2q)ⁿ n සමඟ වර්ධනය වන අතර සාමාන්‍යය පහත වැටේ: n = 5 මඟින් 1.1426 සහ −$14.26; n = 6 මඟින් 1.1735 සහ −$17.35; n = 7 මඟින් 1.2052 සහ −$20.52. දිගු ඉණිමඟක් අඩු වාර ගණනක් අලාභ වේ, චක්‍රවලින් 3.6%, 1.8% සහ 0.9% ක, නමුත් සෑම අලාභයක්ම දෙගුණයක් විශාල වන අතර, සෑම චක්‍රයකම වැඩි මුදලක් මේසය හරහා යයි, සෑම ඔට්ටුවකින්ම 2.70% බැගින්.
ඇමරිකානු රෝදයක 2q = 40/38 වන අතර සංඛ්‍යා −$29.24, −$36.04 සහ −$43.20 වේ (Taylor, 2021). ශුන්‍යයක්රෝදයශුන්‍යයකිසිදු සම මුදල්, දුසිම් හෝ තීරු ඔට්ටුවක් ආවරණය නොකරන තනි කොළ කුටීරය; කැසිනෝ වාසියේ මූලාශ්‍රය. මෙසේද හැඳින්වේ: single zero, 0.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → නැති ක්‍රීඩාවක 2q = 1 වන අතර, ඉණිමඟ කොතරම් දිගු වුවත් සෑම චක්‍රයකම සාමාන්‍යය හරියටම ශුන්‍යයයි.
“grand Martingale” ක්‍රමය පරාජයකින් පසු ඔට්ටු මුදල දෙගුණ කර එක් ඒකකයක්මුදල්ඒකකයක්‍රමයක් හෝ ක්‍රීඩකයෙකු ක්‍රියා කරන මූලික ඔට්ටු මුදල. ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රම ඕනෑම මේසයකට අදාළ වන පරිදි ඒකකවලින් විස්තර කෙරේ.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → එකතු කරයි, එබැවින් ඔට්ටු මුදල් 1, 3, 7, 15, 31 … ලෙස යයි. පළමු ජය 1 වන, 2 වන, 3 වන හෝ k වන ඔට්ටුවේදී ලැබුණු විට ඔබ කොපමණ ලාභයෙන් සිටීද? $10 ඒකකයක් සහ $500 උපරිමයක් සමඟ, චක්‍රයක් කොපමණ වාරයක් කැඩී යයිද, සහ චක්‍රයකට සාමාන්‍යයෙන් කොපමණ වැය වේද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර k වන ඔට්ටුවේ ජයක් ඔබව ඒකක k කින් ලාභයෙන් තබයි: +1, +2, +3 ආදී වශයෙන්. $10 සහ $500 දී චක්‍රය පරාජය පහකට පසු කැඩී යයි, චක්‍රවලින් 3.57% ක, −$570 කට. සාමාන්‍යයෙන් චක්‍රයකට ඔට්ටු තැබූ $85.73 න් $2.32 ක් අහිමි වේ: 2.70%.
k වන ඔට්ටු මුදල ඒකක 2ᵏ − 1 වේ: 1, 3, 7, 15, 31. පළමු ඔට්ටු මුදල් k − 1 එකතු වී 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 වේ. k වන ඔට්ටුවේ ජයක් 2ᵏ − 1 ගෙවයි, එබැවින් චක්‍රය (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = ඒකක k කින් ලාභයෙන් අවසන් වේ: ජයට පෙර සෑම පරාජයකටම එක් අමතර ඒකකයක්.
ඒකකයකට $10 බැගින් ඔට්ටු මුදල් $10, $30, $70, $150 සහ $310 වේ; ඊළඟ, $630, $500 උපරිමය ඉක්මවයි. පිට පිට පරාජය පහක්, (19/37)⁵ = 3.57%, සඳහා 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 ක් වැය වේ.
සාමාන්‍යය: k = 1 සිට 5 දක්වා, ජය (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 අවස්ථාවකින් $10 × k ගෙනෙන අතර, කැඩීම 3.57% අවස්ථාවකින් $570 ගනී; එකට −$2.32. ඔට්ටු තැබූ මුදල චක්‍රයකට සාමාන්‍යයෙන් $85.73 ක් වන අතර, 2.32/85.73 = 2.70%. එම මේසයේම සාමාන්‍ය Martingale ක්‍රමය පරාජය හයකට පසු කැඩී යයි, චක්‍රවලින් 1.83% ක, −$630 කට, සහ ඔට්ටු තැබූ $64.20 න් $1.74 ක් අහිමි කරයි: නැවතත් 2.70%.
සීමාව $1,000 වන මේසයක $1 පළමු ඔට්ටුවක් සමඟ රතු මත Martingale ක්‍රමයක් ක්‍රීඩා කිරීමට ක්‍රීඩකයෙක් සැලසුම් කරයි, එබැවින් ඔට්ටු දහයක් කළ හැකිය: $1, $2, $4 ආදී වශයෙන් $512 දක්වා. චක්‍රයක් දහයම අහිමි කරන්නේ කොපමණ වාරයක්ද, එයට සාමාන්‍යයෙන් කොපමණ කාලයක් ගත වේද, සහ ඔට්ටු 200ක සන්ධ්‍යාවක් ඒ ආකාරයෙන් අවසන් වන්නේ කොපමණ වාරයක්ද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර චක්‍රයක් දහයම අහිමි කරන්නේ 784කට වරක් පමණ වන අතර, එයට $1,023 ක් වැය වේ. එය සාමාන්‍යයෙන් ඔට්ටු 1,600ක් පමණ වන අතර, ඔට්ටු 200ක සන්ධ්‍යාවක් 11% ක් පමණ වාරවලදී බිත්තියේ හැපේ. චක්‍රයක් තවමත් සාමාන්‍යයෙන් ඔට්ටු තැබූ $11.31 න් $0.31 ක් අහිමි කරයි: 2.70%.
රතු මත ඔට්ටුවක් ශුන්‍යයද ඇතුළුව 19/37 අවස්ථාවකින් පරාජය වේ. පිට පිට දහයක්: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, ආසන්න වශයෙන් 784න් 1ක්. 1 + 2 + 4 + … + 512 ඔට්ටු මුදල් එකතු වී $1,023 වේ.
චක්‍රයකට සාමාන්‍යයෙන් ඔට්ටු 2.05ක් ගත වේ, එබැවින් චක්‍ර 784කට ඔට්ටු 1,600ක් පමණ ගත වේ. කරකැවීමෙන් කරකැවීමට ගණන් කළ විට, ඔට්ටු 200ක් තුළ කොතැනක හෝ පරාජය දහයක මාලාවක් 11.3% ක් වාරවලදී හමු වේ.
ව්‍යසන අතර ක්‍රීඩකයා චක්‍රයකට $1 ජය ගනී: නරක එකට පෙර $783 ක් පමණ, ඉන්පසු −$1,023, සම්පූර්ණ කාලය පුරා −$240 ක් පමණ. චක්‍රයකට: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. චක්‍රයකට ඔට්ටු තැබූ මුදල: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. සහ −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 සීමාවක $10 පළමු ඔට්ටුවක්, ඔට්ටු හයක්, සමඟ සසඳන්න: බිත්තිය චක්‍ර 55කට වරක් පැමිණෙන අතර, ඔට්ටු 200ක සන්ධ්‍යාවක් 84% ක් වාරවලදී එයට මුහුණ දෙයි. ඉහළ සීමාවක් බිඳ වැටීම වඩා දුර්ලභ හා විශාල කරයි, අඩු වියදම් නොකරයි.
විනෝදජනක කොටස
සෑම සීමාවකදීම වඩා දුර්ලභ සහ වඩා විශාල. ගුණිතය නියත ය.
මූලාශ්‍ර
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.