ගැටලුව: උපන්දින රෝදය
කිසියම් අංකයක් නැවත වැටීමට පෙර කරකැවීම් කීයක් අවශ්‍යද? බොහෝ දෙනා අනුමාන කරනවාට වඩා බොහෝ අඩුවෙන්.
කුටීරඋපකරණකුටීරයභ්‍රමකයේ අංකිත කුටීර 37න් එකකි. මෙසේද හැඳින්වේ: slot, cup.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → 37 ක රෝදයක උපන්දින ගැටලුව: කරකැවීම් 8 කට පසුව පමණක්, කිසියම් අංකයක් දැනටමත් දෙවරක් වැටී තිබීමට අඩකට වඩා වැඩි අවස්ථාවක් ඇත. ක්‍රීඩකයින් පුනරාවර්තන රටා ලෙස කියවයි; ඒවා සාධාරණ රෝදයක අපේක්ෂිත හැසිරීමයි.
ගැටලුව
සාධාරණ යුරෝපීය රෝදයක් කරකවන්න. අවම වශයෙන් කරකැවීම් දෙකක් එකම අංකය පෙන්වා තිබීමේ සම්භාවිතාවගණිතයසම්භාවිතාවප්‍රතිඵලයක අවස්ථාව, 0 සිට 1 දක්වා හෝ 0% සිට 100% දක්වා. එක් අංකයක්: 1/37 = 2.70%.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → අඩකට වඩා වැඩි වීමට කරකැවීම් කීයක් අවශ්‍යද? බොහෝ ක්‍රීඩකයින් අනුමාන කරන්නේ 37 හි අඩක් වන 18 හෝ 19 පමණ ය. පිළිතුර 8 කි.
විසඳුම
පුනරාවර්තනයක් නොමැති වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කර එකෙන් අඩු කරන්න. කරකැවීම් k කට පසු, p(සියල්ල වෙනස්) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 සඳහා: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, එබැවින් p(කිසියම් පුනරාවර්තනයක්) ≈ 0.56. k = 14 සඳහා එය 0.93 කි; k = 20 සඳහා එය 0.996 කි. කරකැවීම් යුගල ගණන k² ලෙස වර්ධනය වන නිසා සහ ඕනෑම යුගලයක් ගැළපිය හැකි නිසා සහජ බුද්ධිය අසාර්ථක වේ.
මේසයේදී එය වැදගත් වන්නේ ඇයි
අවසාන අංක 20 හි ප්‍රතිඵල පුවරුවක් සෑම විටම පාහේ අවම වශයෙන් එක් පුනරාවර්තනයක් පෙන්වයි, බොහෝ විට දෙකක් හෝ තුනක්. ක්‍රීඩකයින් “කරකැවීම් දහයකදී 17 දෙවරක් ආවා” දැක 17 උණුසුම් යැයි නිගමනය කරයි; උපන්දින ගණිතය කියන්නේ කරකැවීම් දහයක් ඇතුළත පුනරාවර්තනයක් 74% ක වාරවලදී සිදු වන බවත්, පුනරාවර්තනය වන අංකය සසම්භාවී බවත් ය. රටාව සැබෑ ය; එහි අර්ථය සැබෑ නොවේ.
ඊළඟ ගැටලුව
නිශ්චිත අංකයක්, උදාහරණයක් ලෙස 17, දෙවරක් වැටීමට කරකැවීම් කීයක් අවශ්‍යද? එය බොහෝ විශාල පිළිතුරක් ඇති වෙනත් ප්‍රශ්නයකි: අපේක්ෂිත රැඳී සිටීම කරකැවීම් 74 ක් වන අතර, කරකැවීම් 20 ක් ඇතුළත 17 දෙකක සම්භාවිතාව 10% ක් පමණ වේ. “කිසියම් අංකයක් පුනරාවර්තනය වේ” (කරකැවීම් 8) සහ “මෙම අංකය පුනරාවර්තනය වේ” (කරකැවීම් 74) අතර වෙනස, පසුව ඔබ දකින රටාවක් සහ කලින් ඔබ කරන අනාවැකියක් අතර ඇති සම්පූර්ණ වෙනසයි.
උත්සාහ කර බලන්න
ආදර්ශන ක්‍රීඩාව කරකැවීම් දහයක් සඳහා ධාවනය කර ඉතිහාසය බලන්න. සාමාන්‍යයෙන් පුනරාවර්තනයක් ඇත. එය නැවත ධාවනය කරන්න. පුනරාවර්තනය වන අංකය වෙනස් වනු ඇත. මෙය දස වරක් කරන්න, එවිට ඔබ උපන්දින ගැටලුවගණිතයඋපන්දින ගැටලුවදෙදෙනෙකුට එකම උපන්දිනය තිබීමට ඉඩ ඇති වීමට පුද්ගලයින් කී දෙනෙකු අවශ්‍යද, නැතහොත් අංකයක් නැවත ඒමට ඉඩ ඇති වීමට කරකැවීම් කීයක් අවශ්‍යද. කුටීර 37ක රෝදයක, සමාන අවස්ථාවට වඩා හොඳ අවස්ථාවකට කරකැවීම් 8ක් ප්‍රමාණවත්.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → දැක ඇත; දහස් වරක් කරන්න (සිමියුලේටරවලට හැකි ය), එවිට ඔබ එය මැනගෙන ඇත.
සූත්‍රය
ප්‍රශ්න
හරියටම, දින 365 වෙනුවට කුටීර 37 ක් සමඟ. උපන්දින සඳහා පුද්ගලයින් 23 දෙනෙකු 50% ලබා දෙයි; රෝදය සඳහා කරකැවීම් 8 ක් 56% ලබා දෙයි.
කරකැවීම් 19 කට පමණ පසු 50%. තවමත් සාමාන්ය දෙයකි.
නැත. එක් රෝදයක කරකැවීම් දහස් ගණනක් එසේ කළ හැකි ය; පුනරාවර්තනයක් කිසි විටෙක එසේ නොකරයි.
ගණිතය සමඟ විනෝදය
මුලින්ම මේවා ඔබම උත්සාහ කරන්න. සෑම විසඳුමක්ම නවා තබා ඇත; ඔබ සූදානම් වූ විට එය විවෘත කරන්න.
ඇමරිකානු රෝදයක් අසල ඇති ප්‍රතිඵල පුවරුවක අවසාන කරකැවීම් 16 පෙන්වයි. එහි කිසිදු අංකයක් දෙවරක් දිස් නොවීමේ සම්භාවිතාව කොපමණද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර ආසන්න වශයෙන් 2.5%: දළ වශයෙන් පුවරු 40න් 39ක් අවම වශයෙන් එක් පුනරාවර්තනයක් පෙන්වයි.
කරකැවීමෙන් කරකැවීම යන්න. පළමු කරකැවීම ඕනෑම දෙයක් විය හැක. දෙවැන්න එය මඟ හැරිය යුතුය: 38න් අවස්ථා 37ක්. තුන්වැන්න දෙකම මඟ හැරිය යුතුය: 38න් 36ක්. දහසය වැන්න අංක පහළොවක් මඟ හැරිය යුතුය: 38න් 23ක්.
ගුණ කරන්න: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
දුර්ලභ වන්නේ පුනරාවර්තනයක් නැති පුවරුවයි. පුනරාවර්තනයක් සහිත පුවරුවක් රෝදය ගැන කිසිවක් නොකියයි.
යුරෝපීය රෝදයක කරකැවීම් දහයකදී, 17 හරියටම පස් වතාවක් පැමිණීමේ සම්භාවිතාව කොපමණද? යම් අංකයක්, ඕනෑම අංකයක්, පස් වතාවක් හෝ ඊට වැඩි වාර ගණනක් පැමිණීමේ සම්භාවිතාව? සහ කරකැවීම් හතරකදී යම් අංකයක් අවම වශයෙන් තුන් වතාවක් පැමිණීමේ සම්භාවිතාව?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර 17 හරියටම පස් වතාවක්: 315,576න් 1කි. යම් අංකයක් පස් වතාවක් හෝ වැඩි ගණනක්: ආසන්න වශයෙන් 8,333න් 1කි. කරකැවීම් හතරකදී යම් අංකයක් තුන් වතාවක් හෝ වැඩි ගණනක්: 349න් 1කි.
17 පස් වතාවක්: කරකැවීම් දහයෙන් කුමන පහද යන්න තෝරන්න, ක්‍රම 252ක්, එක එකක සම්භාවිතාව (1/37)⁵ × (36/37)⁵. එකට, 315,576න් 1කි.
යම් අංකයක්: අංක 37න් එක එකකට ජය පහක් හෝ වැඩි ගණනක සම්භාවිතාව 308,325න් 1කි, එය 308,325න් 37ක්, එනම් 8,333න් 1ක් ලබා දෙයි. අංක දෙකකට ජය පහ බැගින් ලැබෙන දුර්ලභ අවස්ථාව දෙවරක් ගණන් කෙරේ, නමුත් එය ඉවත් කිරීම මෙම නිරවද්‍යතාවයේදී කිසිවක් වෙනස් නොකරයි.
කරකැවීම් හතරකදී තුන් වතාවක්: එක් අංකයකට, හැකි ප්‍රතිඵල 37⁴න් 4 × 36 + 1 = 145ක්; අංක 37න් ඕනෑම එකකට, 145/37³ = 349න් 1කි.
ද්විත්ව ශුන්‍යරෝදයශුන්‍යයකිසිදු සම මුදල්, දුසිම් හෝ තීරු ඔට්ටුවක් ආවරණය නොකරන තනි කොළ කුටීරය; කැසිනෝ වාසියේ මූලාශ්‍රය. මෙසේද හැඳින්වේ: single zero, 0.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → රෝදයක් සඳහා අනුරූප අගයන් 359,275න් 1, 9,243න් 1 සහ 368න් 1 වේ. “17” සහ “යම් අංකයක්” අතර පරතරය නැවතත් උපන්දින ගැටලුවයිගණිතයඋපන්දින ගැටලුවදෙදෙනෙකුට එකම උපන්දිනය තිබීමට ඉඩ ඇති වීමට පුද්ගලයින් කී දෙනෙකු අවශ්‍යද, නැතහොත් අංකයක් නැවත ඒමට ඉඩ ඇති වීමට කරකැවීම් කීයක් අවශ්‍යද. කුටීර 37ක රෝදයක, සමාන අවස්ථාවට වඩා හොඳ අවස්ථාවකට කරකැවීම් 8ක් ප්‍රමාණවත්.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න →: පුදුමයට පත් වීමට ක්‍රම 37ක් ඇත.
විනෝදජනක කොටස
යමක් කලින්ම පුනරාවර්තනය වේ. ඒ කුමක්ද යන්න සසම්භාවී ය.
මූලාශ්‍ර
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, රූලට් ප්‍රශ්න.