රූලට්හි අනුක්‍රමික ප්‍රතිඵල මාලාවල සම්භාවිතාව
එක් වර්ණයක දිගු මාලා සුලබ ය. ඊළඟ කරකැවීමට ඒවා අර්ථශූන්‍ය ද වේ.
අඛණ්ඩව රතු පහක්: 2.7%. දහයක්: 0.074%. කරකැවීම් 200 ක ක්‍රීඩා සැසියකදී එක් වර්ණයක හයක මාලාවක් පෙනී සිටීමට ඇති ඉඩ නොපෙනීමට වඩා වැඩි ය.
පරාජය මාලාවක් කොපමණ වාරයක් එයිද
තනි ශුන්‍ය රෝදයක සම මුදල් ඔට්ටුවක් කරකැවීම් 37 කින් 19 ක් පරාජය වේ. සෑම පේළියක්ම පෙන්වන්නේ දී ඇති කරකැවීම් දාමයක් සියල්ලම පරාජය වීමේ අවස්ථාව සහ සෑම පරාජයකටම පසු දෙගුණ කරන Martingale ක්‍රීඩකයෙකුට එතෙක් සිදු වූ අලාභයයි.
| අඛණ්ඩ පරාජය | අවස්ථාව | දළ වශයෙන් 1 න් | මේ දක්වා අලාභය | ඊළඟ ඔට්ටුව |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
අවස්ථාව යනු එක් දී ඇති කරකැවීමක සිට ගණන් කළ විට, සෑම පරාජයකටම වරක් 19/37 එයින්ම ගුණ කිරීමයි. දිගු සැසියක එවැනි දාමයක් ආරම්භ විය හැකි කරකැවීම් බොහොමයක් ඇති බැවින්, සන්ධ්‍යාවක් පුරා එය සිදු වීමේ ඉඩ එක් පේළියක් පෙන්වනවාට වඩා බොහෝ වැඩිය.
තනි මාලාව
ඊළඟ කරකැවීම් k ම රතුඔට්ටුවරතුරතු අංක 18 මත සම මුදල් ඔට්ටුව. ප්‍රංශ: rouge.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → වීමේ සම්භාවිතාවගණිතයසම්භාවිතාවප්‍රතිඵලයක අවස්ථාව, 0 සිට 1 දක්වා හෝ 0% සිට 100% දක්වා. එක් අංකයක්: 1/37 = 2.70%.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → (18/37)ᵏ වේ. දෙකක්: 23.7%. පහක්: 2.7%. දහයක්: 0.074%, එනම් 1,350 න් 1 ක් පමණ. විස්සක්: මිලියන 1.8 න් 1. විසිහයක්, මොන්ටේ කාලෝ වාර්තාව: මිලියන 137 න් 1. මේවා නිශ්චිත කරකැවීමකින් ආරම්භ වන නිශ්චිත මාලාවක සම්භාවිතා වන අතර, එය කිසිවෙකු පාහේ සැබවින්ම අසන ප්‍රශ්නය නොවේ.
ක්‍රීඩා සැසියක් තුළ
මිනිසුන් අදහස් කරන ප්‍රශ්නය “මගේ ක්‍රීඩා සැසියේ කොතැනක හෝ k ක මාලාවක් පෙනී සිටීද?” යන්නයි; කරකැවීම් 200 ක ක්‍රීඩා සැසියක් මාලාවක් ආරම්භ වීමට ස්ථාන 200 කට ආසන්න ප්රමාණයක් ලබා දෙන බැවින් පිළිතුර (18/37)ᵏ ට වඩා බෙහෙවින් විශාල ය. රතු හෝ කළුඔට්ටුවකළුකළු අංක 18 මත සම මුදල් ඔට්ටුව. ප්‍රංශ: noir.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → එකම වර්ණයේ හයක හෝ ඊට වැඩි මාලාවක් කරකැවීම් 200 ක ක්‍රීඩා සැසියකදී 94% ක පමණ වාරවලදී පෙනේ; අටක හෝ ඊට වැඩි 47% ක් පමණ; දහයක හෝ ඊට වැඩි 14% ක් පමණ. වර්ණය කලින් නම් කළහොත් අවස්ථා 75%, 27% සහ 7% පමණ දක්වා අඩු වේ. සවස පුරා වාඩි වී සිටින ක්‍රීඩකයෙකු සෑම සවසකම දිගු මාලා දකිනු ඇත.
Martingale ට එය වැදගත් වන්නේ ඇයි
සෑම සෘණ ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමයකටමඋපාය මාර්ගයඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමයපෙර ප්‍රතිඵල මත පදනම්ව ඔට්ටු මුදල වෙනස් කරන ඕනෑම නීතියක්. සෘණ ක්‍රම පරාජයෙන් පසු එය ඉහළ නංවයි, ධන ක්‍රම ජයෙන් පසු.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → එය බිඳ දමන මාලා දිගක් ඇත: $500 සීමාවක $10 පදනමකින් පරාජය හයක්, Fibonacciඋපාය මාර්ගයFibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… අනුක්‍රමය අනුගමනය කරන ඔට්ටු වැඩිකිරීමේ ක්‍රමය: පරාජයකින් පසු එක් පියවරක් ඉදිරියට, ජයකින් පසු පියවර දෙකක් පසුපසට.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → සඳහා දහයක්, දුසිම්ඔට්ටුවදුසිම1–12, 13–24 හෝ 25–36, 2:1 ගෙවයි.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → මත තුන් ගුණ කිරීම සඳහා පහක්. සම මුදල් මත පරාජය හයක මාලාවක සම්භාවිතාව උත්සාහයකට (19/37)⁶ ≈ 1.8% වන අතර, කරකැවීම් 200 ක ක්‍රීඩා සැසියක උත්සාහ 100 ක් පමණ අඩංගු විය හැකි බැවින්, එම දිගේ ක්‍රීඩා සැසි පහකින් හතරකට පමණ බිඳවැටීම පැමිණේ. රූලට්හි මාලාවල සම්භාවිතාව නිසා එම ප්‍රපාතය දුර්ලභ නොවේ.
උණුසුම් සහ සීතල අංක
එම අංක ගණිතයම තනි අංක ඔට්ටුවලටඔට්ටුවතනි අංක ඔට්ටුවතනි අංකයක්, 35:1 ගෙවයි.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → ද අදාළ වේ. කරකැවීම් 300 කදී අංකයකට අපේක්ෂිත ගණන 8.1 වේ; සම්මත අපගමනයගණිතයසම්මත අපගමනයවිචලතාවයේ වර්ගමූලය; ප්‍රතිඵලයක් අපේක්ෂිත අගයේ සිට ඇති සාමාන්‍ය දුර.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → 2.8 ක් පමණ වේ. සෑම විටම, අහම්බෙන්ම කිසියම් අංකයක් වැදීම් 15 ක් ද තවත් එකක් 2 ක් ද පෙන්වනු ඇත. “උණුසුම්” අංක ඉස්මතු කරන ප්‍රතිඵල පුවරුවක් ඉස්මතු කරන්නේ ප්‍රමත ව්‍යාප්තියක ඉහළ කෙළවරයි. උණුසුම් අංකයක්මිථ්‍යාවඋණුසුම් අංකයමෑතකදී අපේක්ෂිත ප්‍රමාණයට වඩා බොහෝ වාරයක් පැමිණි අංකයක්. සාධාරණ රෝදයක එය කිසිවක් පුරෝකථනය නොකරයි.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → කිසියම් අර්ථයක් දීමට කරකැවීම් කීයක් අවශ්‍යදැයි (හඳුනාගත් එක් රෝදයකින් දහස් ගණනක්) විද්‍යාගාරය පැහැදිලි කරයි.
ස්වාධීනත්වය මුළු කාරණයයි
රතු දහයක මාලාවක් කළු වඩා සම්භාවී නොකරන අතර රතු ද වඩා සම්භාවී නොකරයි. දෙකම 18/37 වේ. මාලා සසම්භාවී අනුපිළිවෙළවල ගුණාංගයක් වන අතර ඒවා නොමැති වීම සැක සහිත වනු ඇත: හතරට වඩා දිගු මාලාවක් නොමැති කරකැවීම් 200 ක අනුපිළිවෙළක් දොළහක මාලාවක් ඇති එකකට වඩා බෙහෙවින් ප්‍රබල වංචා සාක්ෂියක් වනු ඇත.
සූත්‍රය
ප්‍රශ්න
1913 අගෝස්තු 18 වන දින මොන්ටේ කාලෝහි කළු 26 ප්රසිද්ධ එකයි. 1943 දී ඇමරිකානු කැසිනෝවක අඛණ්ඩව රතු 32 ක් වාර්තා විය. කැසිනෝ කරකැවීම් කොපමණ ප්රමාණයක් පවත්වයිද යන්න සලකන විට දෙකම අහම්බය සමඟ අනුකූල වේ.
කෙසේ වුවද එය 18/37 වේ. ඔබේ සැලැස්ම පවසන දේ මත ඔට්ටු තබන්න, නැතහොත් කිසිවක් ඔට්ටු නොතබන්න.
නැත. පක්ෂග්රාහීත්වය පෙනෙන්නේ වර්ණයක මාලා ලෙස නොව, කරකැවීම් දහස් ගණනක් පුරා ඇතැම් කුටීරඋපකරණකුටීරයභ්‍රමකයේ අංකිත කුටීර 37න් එකකි. මෙසේද හැඳින්වේ: slot, cup.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → වඩා නිතර වැදීම ලෙසයි.
ගණිතය සමඟ විනෝදය
මුලින්ම මේවා ඔබම උත්සාහ කරන්න. සෑම විසඳුමක්ම නවා තබා ඇත; ඔබ සූදානම් වූ විට එය විවෘත කරන්න.
අංක 37න් සෑම එකක්ම අවම වශයෙන් එක් වරක්වත් පැමිණීමට පෙර, යුරෝපීය රෝදයක සාමාන්‍යයෙන් කරකැවීම් කීයක් ගත වේද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර සාමාන්‍යයෙන් කරකැවීම් 155ක් පමණ; මධ්‍යස්ථය 147 කි.
එක් වරකට එක් නව අංකයක් බැගින් බලා සිටීම ගණන් කරන්න. පළමු කරකැවීම සැමවිටම නව අංකයක් පෙන්වයි. ඔබ අංක 1ක් දැක ඇති විට, කුටීරඋපකරණකුටීරයභ්‍රමකයේ අංකිත කුටීර 37න් එකකි. මෙසේද හැඳින්වේ: slot, cup.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → 37න් 36ක් නවයි, එබැවින් ඊළඟ නව අංකයට සාමාන්‍යයෙන් කරකැවීම් 37/36ක් ගත වේ. ඔබ අංක k ක් දැක ඇති විට, එයට 37/(37 − k) ක් ගත වේ.
බලා සිටීම් එකතු කරන්න: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = කරකැවීම් 155.5.
එයින් වැඩි කොටස අවසානයයි. අවසාන අංකයට පමණක් සාමාන්‍යයෙන් කරකැවීම් 37ක් ද, අවසාන පහට 85ක් පමණ ද ගත වේ. ඇමරිකානු රෝදයක එම එකතුවම 161ක් පමණ ලබා දෙයි. මෙය කූපන් එකතු කරන්නාගේ ගැටලුවයි; එම මධ්‍යන්‍යයම සම්මත ගණනයෙන් ලැබේ.
යුරෝපීය රෝදයක කරකැවීම් 37කදී, එනම් සෑම කුටීරයකටම එක් කරකැවීමක් බැගින්, ඔබ වෙනස් අංක කීයක් දකිනු ඇතැයි අපේක්ෂා කළ යුතුද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර ආසන්න වශයෙන් 23.6ක්. අංකවලින් තුනෙන් එකක් පමණ, එනම් 13ක් පමණ, කිසිසේත් නොපැමිණේ.
එක් අංකයක් ගන්න, උදාහරණයක් ලෙස 17. සෑම කරකැවීමකදීම එය නොපැමිණීමේ අවස්ථාව 36/37 වේ, එබැවින් කරකැවීම් 37ම මඟ හැරීමේ අවස්ථාව (36/37)³⁷ ≈ 0.363 වේ.
සෑම අංකයකටම එකම අවස්ථාව ඇත, එබැවින් සාමාන්‍යයෙන් අංක 37 × 0.363 ≈ 13.4ක් නොපැමිණෙන අතර 37 − 13.4 ≈ 23.6ක් පැමිණේ, ඒවායින් බොහොමයක් දෙවරක් හෝ ඊට වැඩි වාර ගණනක්.
රූලට් ක්‍රීඩකයන් මෙය තුනෙන් එකේ නීතිය ලෙස හඳුන්වයි. එය නීතියක් නොව, පුනරාවර්තනවල අංක ගණිතය පමණි: රෝදය තරම් දිගු මාලාවකදී, අංකවලින් තුනෙන් එකක් පමණ පැත්තකට වී සිටී, අනෙක් ඕනෑම රෝදයක මෙන්ම සාධාරණ රෝදයකද. කුටීර 38ක රෝදයකද කොටස (37/38)³⁸ ≈ 0.363 වේ; විශාල රෝදයක් සඳහා එය 1/e ≈ 0.368 අසලට පැමිණේ.
මිතුරෙක් ඔබට රතුඔට්ටුවරතුරතු අංක 18 මත සම මුදල් ඔට්ටුව. ප්‍රංශ: rouge.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → හෝ කළුඔට්ටුවකළුකළු අංක 18 මත සම මුදල් ඔට්ටුව. ප්‍රංශ: noir.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → වර්ණ 50 බැගින් ඇති ලැයිස්තු දෙකක් පෙන්වයි, ඒ දෙකම ශුන්‍යරෝදයශුන්‍යයකිසිදු සම මුදල්, දුසිම් හෝ තීරු ඔට්ටුවක් ආවරණය නොකරන තනි කොළ කුටීරය; කැසිනෝ වාසියේ මූලාශ්‍රය. මෙසේද හැඳින්වේ: single zero, 0.සම්පූර්ණයෙන් කියවන්න → ඉවත් කළ රෝදයකින් පැමිණි බව කියයි. එකක් වර්ණය 25 වරක් මාරු වන අතර එහි දිගුම පෙළ හයකි. අනෙක 35 වරක් මාරු වන අතර කිසිදා තුන ඉක්මවා නොයයි. මනඃකල්පිතව සෑදුවේ කුමක්ද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර දෙවැන්න. සැබෑ ලැයිස්තුවක් 24 හෝ 25 වරක් පමණ මාරු වේ. මාරු වීම් 35ක් ඇති ලැයිස්තුවක් හමු වන්නේ ලැයිස්තු 500කට වරක් පමණ වන අතර, තුනට වඩා දිගු පෙළක් නැති ලැයිස්තුවක් 100කට දෙවරක් පමණ හමු වේ.
සෑම නව වර්ණයක්ම පෙර වර්ණය නැවත කරයි හෝ මාරු වේ, අඩක් සහ අඩක්, එබැවින් මාරු වීමට අවස්ථා 49ක් සාමාන්‍යයෙන් මාරු වීම් 24.5ක් ලබා දෙයි, 3.5ක් පමණ වැඩි හෝ අඩු වශයෙන්. තිස් පහ යනු සාමාන්‍යයට වඩා එවැනි පියවර තුනක් ඉහළිනි; සාධාරණ රෝදයක් එතරම් මාරු වීම් ප්රමාණයක් ඇති කරන්නේ ලැයිස්තු 500කට වරක් පමණි.
පෙළවල්ද එම කතාවම කියයි. 50ක සැබෑ ලැයිස්තුවක 98% ක් පමණ වාරවලදී හතරක හෝ ඊට වැඩි පෙළක් ඇති අතර, එහි දිගුම පෙළ බොහෝ විට පහක් හෝ හයක් වේ.
සසම්භාවී ලැයිස්තුවක් නිර්මාණය කරන ලෙස ඉල්ලූ පුද්ගලයින් බොහෝ වාරයක් මාරු කරයි, මන්ද හතරක හෝ පහක පෙළක් ඔවුන්ට රටාවක් ලෙස පෙනේ. Taylor (2021) සිසුන් මනඃකල්පිතව සෑදූ කාසි උඩ දැමීම් ලැයිස්තුවලද එම ලක්ෂණයම පෙන්වයි: සැබෑ සසම්භාවීත්වය පුද්ගලයින් අපේක්ෂා කරනවාට වඩා පෙළවලින් පිරී ඇත.
කැසිනෝ කතා පොතක් ක්‍රීඩකයෙකුගේ අංකය පිට පිට පස් වරක් පැමිණි බව කියමින් එය වාර්තාවක් ලෙස හඳුන්වයි. යුරෝපීය රෝදයක එය කෙතරම් දුර්ලභද? දිවා රෑ පුරා පැයකට 40 වරක් බැගින් කරකවන මේස 20ක් ඇති එක් කැසිනෝවක කොතැනක හෝ එය කොපමණ වාරයක් සිදු විය යුතුද?
විසඳුම පෙන්වන්න
පිළිතුර නම් කළ අංකයක් පිට පිට පස් වරක්: මිලියන 69න් 1ක්. ඕනෑම අංකයක් පළමු වරට පැමිණි පසු තවත් හතර වරක් පැමිණීම: මිලියන 1.87න් 1ක්. එම කැසිනෝව වසරකට කරකැවීම් මිලියන 7ක් පමණ කරයි, එබැවින් එයට වසරකට තුන් හතර වරක් පහේ පෙළක් දැකිය යුතුය.
නම් කළ අංකයක් සෑම කරකැවීමකදීම 1/37 අවස්ථාවකින් පැමිණේ, එබැවින් පිට පිට පහක අවස්ථාව (1/37)⁵ = 69,343,957න් 1කි. නමුත් කිසිවෙක් අංකය කලින් නම් නොකරයි. මුලින්ම කුමක් පැමිණියත්, ඊළඟ කරකැවීම් හතර එය නැවත කළ යුතුය: (1/37)⁴ = 1,874,161න් 1කි.
මේස 20 × කරකැවීම් 40 × පැය 24 × දින 365 = වසරකට කරකැවීම් 7,008,000. සෑම කරකැවීමකටම පෙළක් ආරම්භ කළ හැකිය, එබැවින් කැසිනෝව වසරකට පහේ පෙළවල් 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7ක් අපේක්ෂා කරයි.
මෙවැනි නිල වාර්තාවක් නොපවතින අතර එකක් අවශ්‍යද නැත: එක් මේසයක දුර්ලභ සිදුවීමක් කැසිනෝවක් පුරා සාමාන්‍ය සිදුවීමක් වන අතර, කතා කියනු ලබන්නේ එය සිදු වූ මේසය ගැනය. Goldman (2007) හි ඇති කතාව ද්විත්ව ශුන්‍ය රෝදයක සිදු වන අතර, එහි සංඛ්‍යා මිලියන 79න් 1ක් සහ මිලියන 2.09න් 1ක් වේ.
විනෝදජනක කොටස
සසම්භාවීත්වය පෙනෙන්නේ දිගු මාලා ලෙසයි.
මූලාශ්‍ර
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.